⏱️ समय तथा कार्य (Time & Work) : 30 Detailed Methods

🧠 भाग 1: आधारभूत कॉन्सेप्ट्स एवं मास्टर सूत्र (Master Formulas)

बेसिक नियमावली (Core Rules)

कुल कार्य (Total Work): प्रश्नों को आसान बनाने के लिए हम दिनों/घंटों की संख्याओं का ल.स.प. (LCM) निकालकर उसे कुल कार्य मान लेते हैं।
कार्यक्षमता (Efficiency): किसी व्यक्ति द्वारा 1 दिन या 1 घंटे में किया गया काम।
क्षमता = कुल कार्य ÷ कुल समय
व्युत्क्रमानुपाती संबंध: यदि कार्य समान है, तो क्षमता और समय का अनुपात एक-दूसरे का उल्टा होता है। (क्षमता का अनुपात A:B = 2:1 है, तो समय का अनुपात A:B = 1:2 होगा)।

मिश्र समानुपात सूत्र (Chain Rule Formula)

जब अलग-अलग समूहों द्वारा अलग-अलग परिस्थितियों में कार्य किया जाए:

M₁ × D₁ × H₁W₁ × R₁

M₂ × D₂ × H₂W₂ × R₂

[M = व्यक्तियों की संख्या, D = दिन, H = प्रतिदिन घंटे, W = कार्य की मात्रा (चटाई, गड्ढा, भाग), R = कुल मजदूरी/रुपये]

🎯 भाग 2: 30 Master Methods & Detailed Solutions

A. साधारण कार्य एवं क्षमता पर आधारित प्रश्न (Methods 1 to 10)

Method 1: दो व्यक्तियों का साधारण कार्य (Basic LCM)

📋 पूरा प्रश्न: A किसी कार्य को अकेले 20 दिनों में पूरा कर सकता है तथा B उसी कार्य को अकेले 30 दिनों में पूरा कर सकता है। यदि दोनों एक साथ मिलकर कार्य करना शुरू करें, तो पूरा कार्य कितने दिनों में समाप्त हो जाएगा?

💡 विस्तृत हल:
1. सबसे पहले 20 और 30 का ल.स.प. (LCM) निकालें: LCM(20, 30) = 60 Unit (यह हमारा कुल कार्य है)।
2. A की दैनिक क्षमता = 60 ÷ 20 = 3 Unit/दिन।
3. B की दैनिक क्षमता = 60 ÷ 30 = 2 Unit/दिन।
4. दोनों की संयुक्त क्षमता = 3 + 2 = 5 Unit/दिन।
5. कुल समय = कुल कार्य ÷ संयुक्त क्षमता = 60 ÷ 5 = 12 दिन

Method 2: तीन व्यक्तियों का सामूहिक कार्य (Three People)

📋 पूरा प्रश्न: A, B और C किसी कार्य को क्रमशः 12 दिन, 15 दिन और 20 दिन में अलग-अलग समाप्त कर सकते हैं। यदि तीनों एक साथ मिलकर इस कार्य को करें, तो कार्य समाप्त होने में कितना समय लगेगा?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल कार्य = LCM(12, 15, 20) = 60 Unit.
2. दैनिक क्षमताएँ: A = 60/12 = 5 | B = 60/15 = 4 | C = 60/20 = 3.
3. तीनों की कुल क्षमता = 5 + 4 + 3 = 12 Unit/दिन.
4. कार्य समाप्त होने में लगा समय = 60 ÷ 12 = 5 दिन

Method 3: भिन्न/भाग पर आधारित कार्य (Fractional Work)

📋 पूरा प्रश्न: A किसी कार्य का 1/2 भाग 5 दिनों में पूरा करता है और B उसी कार्य का 1/3 भाग 4 दिनों में पूरा करता है। दोनों मिलकर इस पूरे कार्य को कितने दिनों में समाप्त करेंगे?

💡 विस्तृत हल:
1. पहले दोनों का पूरा काम करने का दिन निकालें:
• A पूरा काम करेगा = 5 × (2/1) = 10 दिन में।
• B पूरा काम करेगा = 4 × (3/1) = 12 दिन में।
2. अब साधारण LCM लें: LCM(10, 12) = 60 Unit (कुल कार्य)।
3. क्षमता: A = 60/10 = 6 | B = 60/12 = 5. कुल क्षमता = 11.
4. मिलकर लगा समय = 60 ÷ 11 = 5 सही 5/11 दिन

Method 4: युग्मों या जोड़ों में कार्य (Working in Pairs)

📋 पूरा प्रश्न: A और B मिलकर एक कार्य को 12 दिनों में, B और C मिलकर 15 दिनों में तथा C और A मिलकर उसी कार्य को 20 दिनों में पूरा कर सकते हैं। तीनों मिलकर इस कार्य को कितने दिनों में समाप्त करेंगे?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल कार्य = LCM(12, 15, 20) = 60 Unit.
2. क्षमताएँ: (A+B) = 5 | (B+C) = 4 | (C+A) = 3.
3. जोड़ने पर: 2(A + B + C) = 5 + 4 + 3 = 12 Unit.
4. तीनों की वास्तविक संयुक्त क्षमता (A + B + C) = 12 ÷ 2 = 6 Unit/दिन.
5. तीनों मिलकर समय लेंगे = 60 ÷ 6 = 10 दिन

Method 5: समूह से किसी एक व्यक्ति का कार्य ज्ञात करना

📋 पूरा प्रश्न: A और B मिलकर किसी कार्य को 12 दिनों में पूरा कर सकते हैं, जबकि B अकेला उसी कार्य को 30 दिनों में पूरा कर सकता है। बताइए A अकेला उस कार्य को कितने दिनों में समाप्त कर पायेगा?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल कार्य = LCM(12, 30) = 60 Unit.
2. (A + B) की संयुक्त क्षमता = 60 ÷ 12 = 5 Unit/दिन.
3. B की व्यक्तिगत क्षमता = 60 ÷ 30 = 2 Unit/दिन.
4. A की व्यक्तिगत क्षमता = (A + B) – B = 5 – 2 = 3 Unit/दिन.
5. A अकेला समय लेगा = 60 ÷ 3 = 20 दिन

Method 6: कार्यक्षमता अनुपात आधारित (Efficiency Ratio)

📋 पूरा प्रश्न: A की कार्यक्षमता B से दोगुनी है। यदि दोनों मिलकर किसी कार्य को 14 दिनों में समाप्त कर सकते हैं, तो बताइए A अकेला उस कार्य को कितने दिनों में पूरा करेगा?

💡 विस्तृत हल:
1. क्षमता का अनुपात लिखें: A : B = 2 : 1.
2. दोनों की मिलकर कुल दैनिक क्षमता = 2 + 1 = 3 Unit/दिन.
3. कुल कार्य = संयुक्त क्षमता × कुल दिन = 3 × 14 = 42 Unit.
4. A अकेला समय लेगा = कुल कार्य ÷ A की क्षमता = 42 ÷ 2 = 21 दिन

Method 7: प्रतिशत क्षमता आधारित प्रश्न (Percentage Efficiency)

📋 पूरा प्रश्न: A की कार्यक्षमता B से 50% अधिक है। यदि B अकेला किसी कार्य को करने में 30 दिन का समय लेता है, तो A अकेला उस कार्य को कितने दिनों में पूरा करेगा?

💡 विस्तृत हल:
1. माना B की क्षमता = 100%, तो A की क्षमता = 150%.
2. क्षमता का अनुपात (A : B) = 150 : 100 = 3 : 2.
3. कुल कार्य = B की क्षमता × B के दिन = 2 × 30 = 60 Unit.
4. A अकेला समय लेगा = 60 ÷ 3 (A की क्षमता) = 20 दिन

Method 8: समय के अंतर/अनुपात पर आधारित प्रश्न

📋 पूरा प्रश्न: A किसी कार्य को करने में B से आधा समय लेता है। यदि दोनों मिलकर उस कार्य को 10 दिनों में समाप्त करते हैं, तो B अकेला उस कार्य को कितने दिनों में पूरा करेगा?

💡 विस्तृत हल:
1. समय का अनुपात (A : B) = 1 : 2.
2. चूँकि क्षमता समय की उल्टी होती है, अतः क्षमता का अनुपात (A : B) = 2 : 1.
3. दोनों की कुल संयुक्त क्षमता = 2 + 1 = 3 Unit/दिन.
4. कुल कार्य = 3 × 10 दिन = 30 Unit.
5. B अकेला समय लेगा = 30 ÷ 1 (B की क्षमता) = 30 दिन

Method 9: अज्ञात दिनों का शार्ट-कट (x Days Variant)

📋 पूरा प्रश्न: A और B मिलकर किसी कार्य को ‘x’ दिनों में करते हैं। यदि A अकेला उसी कार्य को करे तो उसे x से 9 दिन अधिक लगते हैं, और B अकेला करे तो उसे x से 16 दिन अधिक लगते हैं। ‘x’ का मान ज्ञात करें?

💡 विस्तृत हल:
1. जब भी दोनों के सामूहिक दिन ‘x’ हों और व्यक्तिगत दिन ‘x + a’ और ‘x + b’ के रूप में दिए हों, तो सीधा शॉर्टकट फॉर्मूला लागू करें:
2. x = √(A के अतिरिक्त दिन × B के अतिरिक्त दिन)
3. x = √(9 × 16) = √144 = 12 दिन

Method 10: बारी-बारी से कार्य करना (Alternate Days – Basic)

📋 पूरा प्रश्न: A और B किसी कार्य को क्रमशः 10 और 15 दिनों में पूरा कर सकते हैं। यदि वे बारी-बारी से एक-एक दिन छोड़कर काम करें तथा कार्य की शुरुआत A करे, तो पूरा कार्य कितने दिनों में समाप्त होगा?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल कार्य = LCM(10, 15) = 30 Unit. क्षमता: A = 3, B = 2.
2. पहले दिन A काम करेगा = 3 Unit. दूसरे दिन B काम करेगा = 2 Unit.
3. इस प्रकार, 2 दिनों के 1 चक्र (Cycle) में कुल काम होगा = 3 + 2 = 5 Unit.
4. हमें कुल 30 Unit काम करना है। चक्रों की संख्या = 30 ÷ 5 = 6 चक्र.
5. कुल दिन = 6 चक्र × 2 दिन/चक्र = 12 दिन

B. बीच में काम छोड़ना, शामिल होना, मजदूरी एवं एम.डी.एच (Methods 11 to 20)

Method 11: कार्य शुरू होने के कुछ दिन ‘बाद’ काम छोड़ना

📋 पूरा प्रश्न: A किसी कार्य को 12 दिनों में तथा B उसे 18 दिनों में समाप्त कर सकता है। दोनों एक साथ मिलकर कार्य शुरू करते हैं, लेकिन कार्य शुरू होने के 3 दिन बाद A कार्य छोड़ देता है। शेष कार्य को B अकेला कितने दिनों में पूरा करेगा?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल कार्य = LCM(12, 18) = 36 Unit. क्षमता: A = 3, B = 2.
2. 3 दिनों तक दोनों ने साथ काम किया: 3 दिन का काम = 3 × (3 + 2) = 15 Unit.
3. शेष कार्य = 36 – 15 = 21 Unit.
4. इस शेष कार्य को B अपनी क्षमता (2) से करेगा: समय = 21 ÷ 2 = 10.5 दिन

Method 12: कार्य समाप्त होने से कुछ दिन ‘पहले’ काम छोड़ करना

📋 पूरा प्रश्न: A और B किसी कार्य को क्रमशः 10 दिन और 15 दिन में समाप्त कर सकते हैं। दोनों साथ काम शुरू करते हैं लेकिन कार्य समाप्त होने से 2 दिन पहले A काम छोड़ देता है। बताइए पूरा कार्य समाप्त होने में कुल कितना समय लगा?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल कार्य = LCM(10, 15) = 30 Unit. क्षमता: A = 3, B = 2.
2. मास्टर नियम: जो व्यक्ति काम खत्म होने से पहले छोड़े, उसके उतने दिन का काम कुल कार्य में वर्चुअली (Virtually) जोड़ देते हैं।
3. A का 2 दिन का काम = 2 × 3 = 6 Unit. नया कुल कार्य = 30 + 6 = 36 Unit.
4. अब मान लें कि कोई कहीं नहीं गया, कुल समय = 36 ÷ (3 + 2) = 36/5 = 7.2 दिन

Method 13: पहले और बाद दोनों स्थितियों का मिश्रण (Advanced Leaving)

📋 पूरा प्रश्न: A, B और C किसी कार्य को क्रमशः 10, 12 और 15 दिनों में कर सकते हैं। तीनों साथ काम शुरू करते हैं, लेकिन A कार्य शुरू होने के 2 दिन बाद छोड़ देता है तथा B कार्य समाप्त होने से 3 दिन पहले छोड़ देता है। कार्य कुल कितने दिनों में पूरा हुआ?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल कार्य = LCM(10, 12, 15) = 60 Unit. क्षमता: A = 6, B = 5, C = 4.
2. नियम: ‘बाद’ वाले का काम घटाकर उसे ग्रुप से बाहर करें, और ‘पहले’ वाले का काम कुल कार्य में जोड़ें।
3. A का 2 दिन का काम घटाएं: 60 – (2 × 6) = 48 Unit (अब A पूरी तरह बाहर है)।
4. B का 3 दिन का काम जोड़ें: 48 + (3 × 5) = 63 Unit.
5. अब समूह में केवल B और C बचे हैं: कुल समय = 63 ÷ (B + C की क्षमता) = 63 ÷ (5 + 4) = 63/9 = 7 दिन

Method 14: एकांतर दिन कार्य – जब शेष कार्य भिन्न में बचे

📋 पूरा प्रश्न: A और B किसी कार्य को क्रमशः 12 दिन और 16 दिन में पूरा कर सकते हैं। यदि वे बारी-बारी से एक-एक दिन काम करते हैं और कार्य की शुरुआत A करता है, तो पूरा कार्य कितने दिनों में समाप्त होगा?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल कार्य = LCM(12, 16) = 48 Unit. क्षमता: A = 4, B = 3.
2. 2 दिन का 1 चक्र (A + B) = 4 + 3 = 7 Unit काम.
3. 48 के पास पहुँचने के लिए गुणा करें: 7 × 6 चक्र = 42 Unit काम (समय लगा = 6 × 2 = 12 दिन)।
4. शेष काम = 48 – 42 = 6 Unit. 13वें दिन A आएगा और अपनी क्षमता से 4 Unit काम कर देगा। अब दिन हुए = 13, शेष काम बचा = 6 – 4 = 2 Unit.
5. 14वें दिन B इस बचे हुए 2 Unit काम को अपनी क्षमता (3) से करेगा, समय = 2/3 दिन.
6. कुल समय = 12 + 1 + 2/3 = 13 सही 2/3 दिन

Method 15: मजदूरी का सामान्य बंटवारा (Wages Based on Efficiency)

📋 पूरा प्रश्न: A और B किसी कार्य को क्रमशः 6 दिन और 8 दिन में पूरा करने का ठेका ₹3200 में लेते हैं। C की सहायता से वे इस कार्य को केवल 3 दिनों में ही पूरा कर लेते हैं। बताइए इस राशि में से C का हिस्सा कितना होगा?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल कार्य = LCM(6, 8, 3) = 24 Unit.
2. क्षमता: A = 24/6 = 4 | B = 24/8 = 3 | संयुक्त (A+B+C) = 24/3 = 8.
3. C की व्यक्तिगत क्षमता = संयुक्त क्षमता – (A + B) = 8 – (4 + 3) = 1 Unit/दिन.
4. मजदूरी हमेशा क्षमता के अनुपात (4 : 3 : 1) में बंटती है। कुल अनुपात 8 = ₹3200 है।
5. C का हिस्सा (1 अनुपात) = 3200 ÷ 8 = ₹400

Method 16: अलग-अलग दिन कार्य करने पर मजदूरी का बंटवारा

📋 पूरा प्रश्न: A और B की कार्यक्षमता का अनुपात 3:2 है। वे एक कार्य को ₹5000 में करने का ठेका लेते हैं। यदि A ने 4 दिन काम किया और B ने 5 दिन काम किया, तो बताइए कुल राशि में से A को कितने रुपये मिलेंगे?

💡 विस्तृत हल:
1. जब दिन अलग-अलग हों, तो मजदूरी का अनुपात = (क्षमता × कार्य किए गए दिन) के अनुसार होता है।
2. A का हिस्सा अनुपात = 3 (क्षमता) × 4 (दिन) = 12.
3. B का हिस्सा अनुपात = 2 (क्षमता) × 5 (दिन) = 10.
4. मजदूरी का अंतिम अनुपात = 12 : 10 = 6 : 5. कुल अनुपात 11 = ₹5000.
5. A का हिस्सा = (6 / 11) × 5000 = ₹2727.27

Method 17: मिश्र समानुपात का बेसिक प्रकार (M₁D₁ = M₂D₂)

📋 पूरा प्रश्न: 15 व्यक्ति किसी कार्य को 20 दिनों में समाप्त कर सकते हैं। बताइए उसी कार्य को केवल 12 दिनों में समाप्त करने के लिए कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?

💡 विस्तृत हल:
1. सूत्र लागू करें: M₁ × D₁ = M₂ × D₂
2. यहाँ M₁ = 15, D₁ = 20, D₂ = 12, और M₂ हमें निकालना है।
3. 15 × 20 = M₂ × 12 ⇒ 300 = M₂ × 12
4. M₂ = 300 ÷ 12 = 25 व्यक्ति

Method 18: ठेकेदारी और अतिरिक्त मजदूर आधारित प्रश्न

📋 पूरा प्रश्न: एक ठेकेदार ने किसी कार्य को 40 दिनों में पूरा करने का ठेका लिया और शुरुआत में 100 मजदूर काम पर लगाए। 35 दिनों के बाद उसने 100 और मजदूर काम पर लगाए जिससे कार्य नियत समय पर पूरा हो गया। यदि वह अतिरिक्त मजदूर न लगाता, तो कार्य कितने दिन देर से समाप्त होता?

💡 विस्तृत हल:
1. अंतिम 5 दिनों (40 – 35) में कुल मजदूरों की संख्या = 100 + 100 = 200 मजदूर थे।
2. इन 200 मजदूरों ने 5 दिन में कुल काम किया = 200 × 5 = 1000 Unit.
3. यदि अतिरिक्त मजदूर न आते, तो इसी 1000 Unit काम को केवल मूल 100 मजदूर ही करते।
4. मूल मजदूरों को लगा समय = 1000 ÷ 100 = 10 दिन।
5. चूँकि काम 5 दिन में हुआ था और अब 10 दिन लगते, अतः कार्य लेट होता = 10 – 5 = 5 दिन लेट

Method 19: ‘या / अथवा’ पर आधारित समूह प्रश्न (OR Concept)

📋 पूरा प्रश्न: यदि 3 पुरुष या 4 महिलाएँ किसी कार्य को 43 दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो बताइए 7 पुरुष और 5 महिलाएँ एक साथ मिलकर उस कार्य को कितने दिनों में समाप्त करेंगे?

💡 विस्तृत हल:
1. इसकी एक अचूक मास्टर ट्रिक है: कुल दिन ÷ [ (नये पुरुष/पुराने पुरुष) + (नयी महिलाएँ/पुरानी महिलाएँ) ]
2. अभीष्ट दिन = 43 ÷ [ (7 / 3) + (5 / 4) ]
3. नीचे एलसीएम लें: (7/3) + (5/4) = (28 + 15) / 12 = 43 / 12.
4. मान रखने पर: 43 ÷ (43 / 12) = 43 × (12 / 43) = 12 दिन

Method 20: ‘और / तथा’ समूह मिश्रण आधारित प्रश्न (AND Concept)

📋 पूरा प्रश्न: 10 पुरुष और 20 महिलाएँ मिलकर एक कार्य को 13 दिनों में समाप्त कर सकते हैं। बताइए 24 पुरुष और 17 महिलाएँ मिलकर उसी कार्य को कितने दिनों में करेंगे? (यदि 2 पुरुषों का कार्य 3 महिलाओं के बराबर है)।

💡 विस्तृत हल:
1. 2M = 3W ⇒ M/W = 3/2. (यानी पुरुष की क्षमता = 3, महिला की = 2).
2. पहली टीम की कुल क्षमता = 10M + 20W = 10(3) + 20(2) = 30 + 40 = 70.
3. कुल कार्य = पहली टीम की क्षमता × दिन = 70 × 13 = 910 Unit.
4. दूसरी टीम की कुल क्षमता = 24M + 17W = 24(3) + 17(2) = 72 + 34 = 106.
5. दूसरी टीम को लगा समय = कुल कार्य ÷ दूसरी टीम की क्षमता = 910 ÷ 106 = 8.58 दिन

C. पाइप, टंकी एवं ऋणात्मक क्षमता पर आधारित प्रश्न (Methods 21 to 30)

Method 21: दो भरने वाले नलों का साधारण कार्य (Inlet Pipes)

📋 पूरा प्रश्न: नल A किसी पानी की टंकी को 10 घंटे में भर सकता है तथा नल B उसे 15 घंटे में पूरा भर सकता है। यदि दोनों नलों को एक साथ खाली टंकी में खोल दिया जाए, तो टंकी भरने में कितना समय लगेगा?

💡 विस्तृत हल:
1. टंकी की कुल धारिता/क्षमता = LCM(10, 15) = 30 लीटर.
2. नल A की भरने की क्षमता = 30 ÷ 10 = +3 लीटर/घंटा.
3. नल B की भरने की क्षमता = 30 ÷ 15 = +2 लीटर/घंटा.
4. दोनों की संयुक्त क्षमता = +3 + 2 = +5 लीटर/घंटा.
5. टंकी भरने में लगा समय = 30 ÷ 5 = 6 घंटे

Method 22: एक भरने वाला तथा एक खाली करने वाला नल (Outlet Leakage)

📋 पूरा प्रश्न: नल A एक टंकी को 10 घंटे में पूरा भर सकता है, जबकि नल B भरी हुई टंकी को 15 घंटे में पूरा खाली कर सकता है। यदि दोनों नलों को एक साथ खोल दिया जाए, तो खाली टंकी कितने समय में भरेगी?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल क्षमता (LCM) = 30 लीटर.
2. नल A की क्षमता = +3 लीटर/घंटा (भर रहा है)।
3. नल B की क्षमता = -2 लीटर/घंटा (ऋणात्मक क्षमता, क्योंकि खाली कर रहा है)।
4. दोनों की नेट संयुक्त क्षमता = +3 – 2 = +1 लीटर/घंटा.
5. टंकी भरने में लगा समय = 30 ÷ 1 = 30 घंटे

Method 23: तीन नलों का मिश्रण (2 Inlet, 1 Outlet)

📋 पूरा प्रश्न: नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 12 घंटे और 15 घंटे में भर सकते हैं, जबकि एक तीसरा नल C भरी हुई टंकी को 20 घंटे में खाली कर सकता है। यदि तीनों नलों को एक साथ खोल दिया जाए, तो खाली टंकी कितने समय में भर पायेगी?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल क्षमता = LCM(12, 15, 20) = 60 लीटर.
2. क्षमताएँ: A = +5 | B = +4 | C = -3 (खाली करने वाला)।
3. तीनों की नेट संयुक्त क्षमता = 5 + 4 – 3 = +6 लीटर/घंटा.
4. टंकी भरने में लगा समय = 60 ÷ 6 = 10 घंटे

Method 24: रिसाव/छेद होने पर टंकी की वास्तविक धारिता ज्ञात करना

📋 पूरा प्रश्न: नल A एक टंकी को 10 घंटे में भर सकता है। परन्तु टंकी की तली में एक रिसाव (Leakage) होने के कारण टंकी भरने में 15 घंटे का समय लगता है। यदि यह रिसाव 3 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी बाहर निकालता है, तो टंकी की कुल क्षमता (लीटर में) क्या है?

💡 विस्तृत हल:
1. केवल नल A का समय = 10 घंटे। रिसाव सहित (A + L) का समय = 15 घंटे।
2. एलसीएम लें: LCM(10, 15) = 30 यूनिट। क्षमता: A = +3, A + L = +2.
3. रिसाव (L) की व्यक्तिगत क्षमता = 2 – 3 = -1 यूनिट/घंटा। यानी रिसाव पूरी टंकी 30 ÷ 1 = 30 घंटे में खाली कर देगा।
4. टंकी की वास्तविक धारिता = कुल घंटे × 60 मिनट × 3 लीटर/मिनट = 30 × 60 × 3 = 5400 लीटर

Method 25: नल को कार्य के बीच में बंद करना (Closing Midway)

📋 पूरा प्रश्न: दो नल A और B एक टंकी को क्रमशः 15 मिनट और 20 मिनट में भर सकते हैं। दोनों नलों को एक साथ खोल दिया जाता है, लेकिन नल खोलने के 4 मिनट बाद नल A को बंद कर दिया जाता है। टंकी को भरने में कुल कितना समय लगा?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल क्षमता = LCM(15, 20) = 60 लीटर. क्षमता: A = 4, B = 3.
2. 4 मिनट तक दोनों साथ चले: 4 मिनट का काम = 4 × (4 + 3) = 28 लीटर.
3. शेष आवश्यक पानी = 60 – 28 = 32 लीटर.
4. नल A बंद हो गया, अब इसे B भरेगा: B का समय = 32 ÷ 3 = 10.66 मिनट.
5. कुल लगा समय = प्रारंभिक 4 मिनट + बाद के 10.66 मिनट = 14.66 मिनट

Method 26: टंकी भरने से कुछ समय ‘पहले’ नल बंद करना

📋 पूरा प्रश्न: नल A और B एक टंकी को क्रमशः 12 मिनट और 16 मिनट में भर सकते हैं। दोनों साथ खोले जाते हैं, परन्तु टंकी भरने से 2 मिनट पहले नल A को बंद कर दिया जाता है। टंकी भरने में कुल कितना समय लगा?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल कार्य = LCM(12, 16) = 48 Unit. क्षमता: A = 4, B = 3.
2. नियम लागू करें: जो पहले बंद हो उसका काम कुल में जोड़ें। A का 2 मिनट का काम = 2 × 4 = 8 लीटर.
3. नया कुल कार्य = 48 + 8 = 56 लीटर.
4. कुल समय = 56 ÷ (संयुक्त क्षमता 7) = 8 मिनट

Method 27: नलों का एकांतर मिनटों में चलना (Alternate Minutes)

📋 पूरा प्रश्न: नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 10 मिनट और 15 मिनट में भर सकते हैं। यदि दोनों नलों को बारी-बारी से एक-एक मिनट के लिए खोला जाए और शुरुआत नल A करे, तो टंकी कितने समय में पूरी भर जाएगी?

💡 विस्तृत हल:
1. कुल क्षमता = LCM(10, 15) = 30 लीटर. क्षमता: A = 3, B = 2.
2. 1st मिनट (A) = 3L, 2nd मिनट (B) = 2L. 2 मिनट का चक्र = 3 + 2 = 5 लीटर.
3. 30 लीटर पानी के लिए चक्रों की संख्या = 30 ÷ 5 = 6 चक्र.
4. कुल समय = 6 चक्र × 2 मिनट/चक्र = 12 मिनट

Method 28: ऋणात्मक क्षमता और बंदर-खंभा संकल्पना (The Monkey Concept)

📋 पूरा प्रश्न: नल A पहले मिनट में टंकी में 3 लीटर पानी भरता है, तथा नल B दूसरे मिनट में टंकी से 2 लीटर पानी बाहर निकाल देता है। बताइए 30 लीटर क्षमता वाली टंकी को इस प्रकार भरने में कुल कितना समय लगेगा?

💡 विस्तृत हल:
1. 2 मिनट का नेट काम = +3 – 2 = 1 लीटर पानी जमा हुआ.
2. महत्वपूर्ण नियम: आखिरी मिनट में नल A अपनी क्षमता (3L) भरकर टंकी पूरी कर देगा और फिर B को खाली करने का मौका नहीं मिलेगा। इसलिए कुल 30L में से पहले A का 3L घटाएं = 27L.
3. 1 लीटर भरता है = 2 मिनट में, तो 27 लीटर भरेगा = 27 × 2 = 54 मिनट में।
4. अगले यानी 55वें मिनट में नल A आएगा और बचा हुआ 3L पानी भर देगा। टंकी फुल हो जाएगी। कुल समय = 55 मिनट

Method 29: पाइप के व्यास/त्रिज्या पर आधारित क्षमता (Diameter Based)

📋 पूरा प्रश्न: दो पाइपों के व्यासों का अनुपात 1:2 है। पानी बहने की दर पाइप के व्यास के वर्ग (d²) के समानुपाती है। यदि पतला पाइप टंकी को भरने में 40 मिनट का समय लेता है, तो दोनों पाइप मिलकर टंकी को कितने समय में भरेंगे?

💡 विस्तृत हल:
1. व्यास अनुपात = 1 : 2, अतः क्षमता का अनुपात = 1² : 2² = 1 : 4.
2. कुल कार्य = पतले पाइप की क्षमता × उसका समय = 1 × 40 = 40 Unit.
3. दोनों की मिलकर संयुक्त क्षमता = 1 + 4 = 5 Unit/मिनट.
4. दोनों मिलकर समय लेंगे = 40 ÷ 5 = 8 मिनट

Method 30: आंशिक रूप से भरे भागों का मिश्रण

📋 पूरा प्रश्न: नल A किसी टंकी का 1/3 भाग 5 मिनट में भर सकता है, तथा नल B उसी टंकी का 1/4 भाग 6 मिनट में भर सकता है। बताइए दोनों नल मिलकर पूरी टंकी को कितने समय में भर सकेंगे?

💡 विस्तृत हल:
1. A पूरी टंकी भरेगा = 5 × 3 = 15 मिनट में। B पूरी टंकी भरेगा = 6 × 4 = 24 मिनट में।
2. कुल क्षमता = LCM(15, 24) = 120 Unit.
3. व्यक्तिगत क्षमता: A = 120/15 = 8 | B = 120/24 = 5. कुल क्षमता = 13.
4. दोनों मिलकर समय लेंगे = 120 ÷ 13 = 9 सही 3/13 मिनट

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⏱️ समय तथा कार्य (Time & Work) : 30 Detailed Methods

🧠 भाग 1: आधारभूत कॉन्सेप्ट्स एवं मास्टर सूत्र (Master Formulas)

🎯 भाग 2: 30 Master Methods & Detailed Solutions

A. साधारण कार्य एवं क्षमता पर आधारित प्रश्न (Methods 1 to 10)

B. बीच में काम छोड़ना, शामिल होना, मजदूरी एवं एम.डी.एच (Methods 11 to 20)

C. पाइप, टंकी एवं ऋणात्मक क्षमता पर आधारित प्रश्न (Methods 21 to 30)

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